题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于点C，点D时抛物线的顶点
（1）求抛物线的解析式和直线
的解析式；
（2）试探究：在抛物线上是否存在点P，使得以点
为顶点，为直角边的三角形是直角三角形，若存在，请求出，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；直线AC的方程为
；（2）存在，点P的坐标为
或
．
【解析】
（1）根据抛物线与
的交点坐标
，设抛物线的解析式为
，化简得
，与原题的解析式对比，易得
，解出a的值，代入所设解析式即可得抛物线解析式；
根据抛物线与
轴交于点C，可求得
，设直线AC的解析式为
，把A、C的坐标代入可求出
，从而即可求得直线AC的解析式；
（2）分两种情况求解：①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，则直线PC的解析式为
，再联立，可求得交点P的坐标为；
②过点A作AC的垂线交抛物线于点P，则可得所以直线PC的解析式为
，联立，可求得点P的坐标为．
解：（1）设抛物线的解析式为，
，
∵
，
，
∴
，
所以抛物线的解析式为；
当
时， 
，
∴；
设直线AC的解析式为，
把
代入， 
，
所以，
所以直线AC的方程为；
(2)存在；理由如下：
①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，
∵直线AC的方程为，
∴直线PC的解析式为，
解方程组：
，
解得：
或
，
此时点P的坐标为；
②过点A作AC的垂线交抛物线于点P，
直线PC的解析式为
，
把
代入得
，
所以直线PC的解析式为，
解方程组：
，
解得：
或
，
所以点P的坐标为．
综上所述，符合条件的点P的坐标为或．
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