Question

在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且以CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为x秒．
（1）AE=

5

4

x

；DE=

5-

5

4

x

．（用含x的代数式表示的长度）
（2）当x为何值时，四边形PCQE为矩形；
（3）当x为何值时，△EDQ为等腰三角形．
（4）在点Q，E运动过程中，直线QE与AB是否能平行？（直接作答）

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理列式求出AD，再根据PE∥BC判断出△AEP和△ADC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AE，然后用DE=AD-AE计算即可得解；
（2）表示出CQ，PE，然后根据矩形的对边相等可得PE=CQ，然后解方程即可得解；
（3）先验证点Q在BD上时，△EDQ不可能是等腰三角形，然后表示出点Q在CD上时DQ的长度，再分①DQ=DE时，列出方程求解即可；②DQ=EQ时，过点Q作QF⊥AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质表示出DF，再利用∠ADC的余弦值列式进行计算即可得解；③DE=EQ时，过点E作EG⊥CD，根据等腰三角形三线合一的性质表示出DG，再利用∠ADC的余弦值列式进行计算即可得解；
（4）假设存在QE∥AB，先判定出△ABD和△EQD相似，根据相似三角形对应边成比例列式进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵AC=4cm，CD=3cm，∠C=90°，
∴AD=

AC2+CD2

=

32+42

=5cm，
∵PE∥BC，
∴△AEP∽△ADC，
∴

AE

AD

=

AP

AC

，
即

AE

5

=

x

4

，
解得AE=

5

4

x，
DE=AD-AE=5-

5

4

x；

（2）∵点Q的速度是1.25cm/s，
∴CQ=BC-BQ=5-1.25x，
∵△AEP∽△ADC，
∴

PE

CD

=

AP

AC

，
即

PE

3

=

x

4

，
解得PE=

3

4

x，
要使四边形PCQE为矩形，
则PE=CQ，
即

3

4

x=5-1.25x，
解得x=

5

2

，
所以，x=

5

2

秒时，四边形PCQE为矩形；

（3）点Q在BD上时，DQ=BD-BQ=2-1.25x，
△EDQ为等腰三角形时，DQ=ED，
所以，2-1.25x=5-

5

4

x，方程无解，
所以，点Q不可能在BD上，只能在CD上，才可使△EDQ为等腰三角形，
此时，DQ=BQ-BD=1.25x-2，

①如图1，DQ=DE时，1.25x-2=5-

5

4

x，
解得x=

14

5

；
②如图2，DQ=EQ时，过点Q作QF⊥AD于F，
则DF=

1

2

DE=

1

2

（5-

5

4

x）=

5

2

-

5

8

x，
cos∠ADC=

5 2 - 5 8 x

1.25x-2

=

3

5

，
解得x=

148

55

；

③如图3，DE=EQ时，过点E作EG⊥CD，
则DG=

1

2

DQ=

1

2

（1.25x-2）=

5

8

x-1，
cos∠ADC=

5 8 x-1

5- 5 4 x

=

3

5

，
解得x=

32

11

，
综上所述，x为

14

5

秒或

148

55

或

32

11

秒时，△EDQ为等腰三角形；

（4）假设存在QE∥AB，则△ABD∽△EQD，
所以，

DE

AD

=

DQ

BD

，
即

5- 5 4 x

5

=

2-1.25x

2

，
解得x=0，
所以，在点Q，E运动过程中，不能使直线QE与AB平行．

点评：本题是对相似三角形的综合考查，主要利用了勾股定理，矩形的对边相等的性质，相似三角形对应边成比例，等腰三角形三线合一的性质，（3）根据等腰三角形腰的不同分情况讨论是本题的难点．