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已知实数
、
满足
，求代数式
的值。
试题答案
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解：∵
，
≥0，
≥0
∴
=0，
=0
∴
，
∴
，
∴
∴
=
=2008
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阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a，b，c满足：
a+b+2c=1，
a
2
+
b
2
+6c+
3
2
=0
，求a，b，c的值．
解：∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c，
设
a=
1-2c
2
+t，b=
1-2c
2
-t
①
∵
a
2
+
b
2
+6c+
3
2
=0
②
将①代入②得：
(
1-2c
2
+t
)
2
+(
1-2c
2
-t
)
2
+6c+
3
2
=0
整理得：t
2
+（c
2
+2c+1）=0，即t
2
+（c+1）
2
=0，∴t=0，c=-1
将t，c的值同时代入①得：
a=
3
2
，b=
3
2
．∴
a=b=
3
2
，c=-1
．
以上解法是采用“均值换元”解决问题．一般地，若实数x，y满足x+y=m，则可设
x=
m
2
+t，y=
m
2
-t
，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题．现请你根据上述方法试解决下面问题：
已知实数a，b，c满足：a+b+c=6，a
2
+b
2
+c
2
=12，求a，b，c的值．
阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a
2
+b
2
+6c+
3
2
=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）
2
-2ab+6c+
3
2
=0．②
将①代入②，整理得4c
2
+2c-2ab+
5
2
=0．∴ab=2c
2
+c+
5
4
③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t
2
-（1-2c）t+2c
2
+c+
5
4
=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）
2
-4（2c
2
+c+
5
4
≥0，即（c+1）
2
≤0．而（c+1）
2
≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t
2
-3t+
9
4
=0．∴t
1
=t
2
=
3
2
，即a=b=
3
2
．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
1-2c
2
+t，b=
1-2c
2
-t．①
∵a
2
+b
2
+6c+
3
2
=0，∴（a+b）
2
-2ab+6c+
3
2
=0．②
将①代入②，得（1-2c）
2
-2
(
1-2c
2
+t)(
1-2c
2
-t)
+6c+
3
2
=0．
整理，得t
2
+（c
2
+2c+1）=0，即t
2
+（c+1）
2
=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
3
2
，b=
3
2
．a=b=
3
2
，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t
2
-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
m
2
+t，y=
m
2
-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a
2
+b
2
+c
2
=12，求证：a=b=c．
阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a，b，c满足：
a+b+2c=1，
a
2
+
b
2
+6c+
3
2
=0
，求a，b，c的值．
∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c，
设
a=
1-2c
2
+t，b=
1-2c
2
-t
①
∵
a
2
+
b
2
+6c+
3
2
=0
②
将①代入②得：
(
1-2c
2
+t
)
2
+(
1-2c
2
-t
)
2
+6c+
3
2
=0
整理得：t
2
+（c
2
+2c+1）=0，即t
2
+（c+1）
2
=0，∴t=0，c=-1
将t，c的值同时代入①得：
a=
3
2
，b=
3
2
．∴
a=b=
3
2
，c=-1
．
以上解法是采用“均值换元”解决问题．一般地，若实数x，y满足x+y=m，则可设
x=
m
2
+t，y=
m
2
-t
，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题．现请你根据上述方法试解决下面问题：
已知实数a，b，c满足：a+b+c=6，a
2
+b
2
+c
2
=12，求a，b，c的值．
阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a，b，c满足：
，求a，b，c的值．
解：∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c，
设
①
∵
②
将①代入②得：
整理得：t
2
+（c
2
+2c+1）=0，即t
2
+（c+1）
2
=0，∴t=0，c=-1
将t，c的值同时代入①得：
．∴
．
以上解法是采用“均值换元”解决问题．一般地，若实数x，y满足x+y=m，则可设
，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题．现请你根据上述方法试解决下面问题：
已知实数a，b，c满足：a+b+c=6，a
2
+b
2
+c
2
=12，求a，b，c的值．
（2002•荆门）阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a
2
+b
2
+6c+
=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）
2
-2ab+6c+
=0．②
将①代入②，整理得4c
2
+2c-2ab+
=0．∴ab=2c
2
+c+
③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t
2
-（1-2c）t+2c
2
+c+
=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）
2
-4（2c
2
+c+
≥0，即（c+1）
2
≤0．而（c+1）
2
≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t
2
-3t+
=0．∴t
1
=t
2
=
，即a=b=
．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
+t，b=
-t．①
∵a
2
+b
2
+6c+
=0，∴（a+b）
2
-2ab+6c+
=0．②
将①代入②，得（1-2c）
2
-2
+6c+
=0．
整理，得t
2
+（c
2
+2c+1）=0，即t
2
+（c+1）
2
=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=
，b=
．a=b=
，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t
2
-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
+t，y=
-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a
2
+b
2
+c
2
=12，求证：a=b=c．
关 闭
试题分类
高中
数学
英语
物理
化学
生物
地理
初中
数学
英语
物理
化学
生物
地理
小学
数学
英语
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未回答习题
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试卷汇总
练习册解析答案
、
满足
，求代数式
的值。
，
≥0，
≥0=0，=0
，
，
=2008
、满足，求代数式的值。，≥0，≥0=0，=0， ， =2008
，求a，b，c的值．
①
②
．∴
．
，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题．现请你根据上述方法试解决下面问题：
=0，求a、b、c的值．
=0．②
=0．∴ab=2c2+c+
③
=0④的两个实数根．
≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，
=0．∴t1=t2=
，即a=b=
．∴a=b，c=-1．
+t，b=
-t．①
=0，∴（a+b）2-2ab+6c+
=0．②
+6c+
=0．
，b=
．a=b=
，c=-1．
+t，y=
-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．