题目内容

阅读下列范例,按要求解答问题.
例:已知实数a,b,c满足:a+b+2c=1,a2+b2+6c+
3
2
=0
,求a,b,c的值.
∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c,
a=
1-2c
2
+t,b=
1-2c
2
-t

a2+b2+6c+
3
2
=0

将①代入②得:(
1-2c
2
+t)2+(
1-2c
2
-t)2+6c+
3
2
=0

整理得:t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0,∴t=0,c=-1
将t,c的值同时代入①得:a=
3
2
,b=
3
2
.∴a=b=
3
2
,c=-1

以上解法是采用“均值换元”解决问题.一般地,若实数x,y满足x+y=m,则可设x=
m
2
+t,y=
m
2
-t
,合理运用这种换元技巧,可顺利解决一些问题.现请你根据上述方法试解决下面问题:
已知实数a,b,c满足:a+b+c=6,a2+b2+c2=12,求a,b,c的值.
∵a+b+c=6∴a+b=6-c,
a=
6-c
2
+t,b=
6-c
2
-t

∵a2+b2+c2=12②
(
6-c
2
+t)2+(
6-c
2
-t)2+c2=12

整理得:3c2-12c+4t2+12=0
配方得:3(c-2)2+4t2=0,
∴c=2,t=0
把c=2,t=0代入①得:a=2,b=2
所以,a=b=c=2.
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