Question

阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a，b，c满足：a+b+2c=1，a2+b2+6c+

3

2

=0，求a，b，c的值．
解：∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c，
设a=

1-2c

2

+t，b=

1-2c

2

-t①
∵a2+b2+6c+

3

2

=0②
将①代入②得：(

1-2c

2

+t)2+(

1-2c

2

-t)2+6c+

3

2

=0
整理得：t²+（c²+2c+1）=0，即t²+（c+1）²=0，∴t=0，c=-1
将t，c的值同时代入①得：a=

3

2

，b=

3

2

．∴a=b=

3

2

，c=-1．
以上解法是采用“均值换元”解决问题．一般地，若实数x，y满足x+y=m，则可设x=

m

2

+t，y=

m

2

-t，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题．现请你根据上述方法试解决下面问题：
已知实数a，b，c满足：a+b+c=6，a²+b²+c²=12，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：从题中我们可以看出本题的关键是利用方程a+b+c=6得a+b=6-c，设a=

6-c

2

+t，b=

6-c

2

-t①
将①代入方程②a²+b²+c²=12，这就把三元的方程转化成二元的方程．求出未知数，就能正确的解出方程．

解答：解：∵a+b+c=6∴a+b=6-c，
设a=

6-c

2

+t，b=

6-c

2

-t①
∵a²+b²+c²=12②
∴(

6-c

2

+t)2+(

6-c

2

-t)2+c2=12
整理得：3c²-12c+4t²+12=0
配方得：3（c-2）²+4t²=0，
∴c=2，t=0
把c=2，t=0代入①得：a=2，b=2
所以，a=b=c=2．

点评：要用给出的换元技巧求方程的解，就要利用已给出的解题思路和方法，所以做这类题的关键是读懂给出的方法，这就要求学生平时一定要养成仔细读题的习惯．