Question

【题目】已知二次函数．

（1）甲说：该二次函数的图象必定经过点．乙说：若图象的顶点在x轴上，则，你觉得他们的结论对吗？请说明理由；

（2）若抛物线经过，，求证；

（3）甲问乙：“我取的k是一个整数，画出它的图象后发现抛物线与x轴的一个交点在y轴右侧，一个交点在原点和之间，你知道k等于几吗？并求出k的值．

Answer 1

【答案】（1）甲，乙的结论都错误，理由见解析；（2）证明见解析；（3）k=1

【解析】

（1）把函数表达式变形为y+3x2=k（x2-2x+6），求出当x=-2，y=-12时，，，可得结论；根据抛物线的顶点在x轴上得顶点的纵坐标为0从而可得k的值；

（2）将点P，Q的坐标分别代入二次函数解析式，得到含k的表达式，进行乘积运算，最后进行配方即可得到结论；

（3）分和 两种情况分类讨论：当时，，求得，此时无整数k；当时，根据以及抛物线与x轴的一个交点在原点和之间可求得，从而求得整数k的值.

（1）∵

∴

当x=-2，y=-12时，，，

故该二次函数的图象不是必经过点，

因此，甲的结论不正确；

对于函数的顶点坐标为：（， ），

∵图象的顶点在x轴上，

∴

解得，，，

因此，图象的顶点在x轴上，则k=0或；

故乙的结论错误；

（2）把，分别代入得，

，，

∴，

∵

∴；

（3）分两种情况：

（i）当时，即，由抛物线与x轴有两个交点得，

解得，，

∴，

∴不存在整数k；

（ii）当时，即，此时， ，

∴，

∵抛物线与x轴的一个交点在原点和之间，

∴当x=-3时，y=，

解得，，

∴，

∴整数k=1.