题目内容
已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE并延长，交BC的延长线于点P．（1）如图①，当∠B=∠DPB=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，AE=1，求CE的长．
（2）如图②，若AD=AE=1，CE=2，BD=BC，求CP的长．
（3）如图③，若AD=AE=1，tan
，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数解析式．
【答案】分析：（1）由∠B=∠DPB=30°可知∠BDP=120°，再根据∠ACB=90°可知∠ACP=90°，根据三角形外角的性质可知∠AEP=∠ACP+∠DPB=120°，故可得出∠AEP=∠BDP=120°，再由△AEP∽△BDP，可知∠EAP=∠EPA=∠B=∠DPB=30°，故可得出∠EP=AE=1，在Rt△ECP中根据直角三角形的性质即可得出结论；
（2）设BD=BC=m，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即32+m2=（m+1）2，解得m=4，过点D作DQ⊥AC于点Q，根据相似三角形的判定定理得出△ADQ∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出AQ，DQ，QE的长，再判断出△DQE∽△PCE，故可得出CP的长；
（3））由∠ACP=90°可知DQ∥BP，故可得出tan∠QDE=tan∠BPD=
，设QE=a，则DQ=3a，AQ=1-a，在Rt△ADQ中由AQ2+DQ2=AD2，可知（1-a）2+（3a）2=12，故可得出a的值，再由△ADQ∽△ABC，可知
=
=
，故可得出AB=
（1+x），BC=
（1+x），由此即可得出结论．
解答：
解：（1）∵∠B=∠DPB=30°，
∴∠BDP=120°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACP=90°，∠AEP=∠ACP+∠DPB=120°，
∴∠AEP=∠BDP=120°，
∵△AEP∽△BDP，
∴∠EAP=∠EPA=∠B=∠DPB=30°，
∴∠EP=AE=1，
在Rt△ECP中，CE=
EP=
；
（2）∵BD=BC，
∴设BD=BC=m，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，即32+m2=（m+1）2，解得m=4，
∴BD=BC=4，AB=5，
过点D作DQ⊥AC于点Q，
∵∠ACB=90°，
∴DQ∥BC，
∴△ADQ∽△ABC，
∴
=
=
，即
=
=
，
∴AQ=
，DQ=
，QE=AE-AQ=
，
∵DQ∥BP，
∴△DQE∽△PCE，
∴
=
，
=
，
∴CP=4；
（3）∵∠ACP=90°，
∴DQ∥BP，
∴∠QDE=∠BPD，
∴tan∠QDE=tan∠BPD=
，
∴
=
，
设QE=，a，则DQ=3a，AQ=1-a，
在Rt△ADQ中，
∵AQ2+DQ2=AD2，即（1-a）2+（3a）2=12，解得a1=0（不合题意，舍去），a2=
，
∵由（2）知，△ADQ∽△ABC，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴AB=
（1+x），BC=
（1+x）．
∴△ABC的周长y=AB+BC+AC=
（1+x）+
（1+x）+1+x=3x+3，即y=3x+3（x＞0）．
点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理及锐角三角函数的定义等知识，难度较大．
（2）设BD=BC=m，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即32+m2=（m+1）2，解得m=4，过点D作DQ⊥AC于点Q，根据相似三角形的判定定理得出△ADQ∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出AQ，DQ，QE的长，再判断出△DQE∽△PCE，故可得出CP的长；
（3））由∠ACP=90°可知DQ∥BP，故可得出tan∠QDE=tan∠BPD=
，设QE=a，则DQ=3a，AQ=1-a，在Rt△ADQ中由AQ2+DQ2=AD2，可知（1-a）2+（3a）2=12，故可得出a的值，再由△ADQ∽△ABC，可知==，故可得出AB=（1+x），BC=（1+x），由此即可得出结论．解答：
解：（1）∵∠B=∠DPB=30°，∴∠BDP=120°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACP=90°，∠AEP=∠ACP+∠DPB=120°，
∴∠AEP=∠BDP=120°，
∵△AEP∽△BDP，
∴∠EAP=∠EPA=∠B=∠DPB=30°，
∴∠EP=AE=1，
在Rt△ECP中，CE=
EP=；（2）∵BD=BC，
∴设BD=BC=m，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，即32+m2=（m+1）2，解得m=4，
∴BD=BC=4，AB=5，
过点D作DQ⊥AC于点Q，
∵∠ACB=90°，
∴DQ∥BC，
∴△ADQ∽△ABC，
∴
==，即==，∴AQ=
，DQ=，QE=AE-AQ=，∵DQ∥BP，
∴△DQE∽△PCE，
∴
=，=，∴CP=4；
（3）∵∠ACP=90°，
∴DQ∥BP，
∴∠QDE=∠BPD，
∴tan∠QDE=tan∠BPD=
，∴
=，设QE=，a，则DQ=3a，AQ=1-a，
在Rt△ADQ中，
∵AQ2+DQ2=AD2，即（1-a）2+（3a）2=12，解得a1=0（不合题意，舍去），a2=
，∵由（2）知，△ADQ∽△ABC，
∴
==，∴
==，∴AB=
（1+x），BC=（1+x）．∴△ABC的周长y=AB+BC+AC=
（1+x）+（1+x）+1+x=3x+3，即y=3x+3（x＞0）．点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理及锐角三角函数的定义等知识，难度较大．
练习册系列答案
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如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG=45°，AC与MG的延长线相交于点F．
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重合），过D作DQ⊥AC（DQ与AB在AC的同侧）；点P从D点出发，在射线DQ上运动，连接PA、PC．
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