Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．

（1）求证：DE⊥AB；

（2）若tan∠BDE=, CF=3，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6

【解析】试题分析：连接OD，则有OD⊥EF，然后证明OD//AB即可得；

（2）连接AD，则有∠ADB=90°，通过证明△FCD∽△FDA ，可得 FC：FD=CD：DA，再根据tan∠BDE= ，通过推导即可得．

试题解析：（1）连接OD．∵EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF．

又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠OCD，∴∠ABC=∠ODC，

∴AB∥OD，∴DE⊥AB；

（2）连接AD．

∵AC为⊙O的直径，∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BDE=90°，∠B+∠1=90°，

∴∠BDE=∠1，

∵AB=AC，∴∠1=∠2，又∵∠BDE =∠3，∴∠2=∠3，

∴△FCD∽△FDA ，∴ ，

∵tan∠BDE=,∴tan∠2= ，

∴，∴，

∵CF=3，∴FD=6．