Question

7．在Rt△ABC中，以AB上一点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O于AC相切于点E，分别交AB、BC于点D、F，已知OB=3．
（I）如图①，若AC=8，BC=6，求AE，AD的长；
（Ⅱ）如图②，连接OE、OF、EF，若EF∥AB，求AE，AD的长．

Answer 1

分析 （I）如图①，先利用勾股定理求AB=10，由半径OB=3，求AD=4，再根据切线的性质证明OE⊥AC，从而得△AOE∽△ABC，列比列式可求得AE的长；
（II）如图②，证明四边形EOBF是平行四边形，从而得△EOF是等边三角形，求出∠A=30°，在直角三角形中依次求出AD和AE的长即可．

解答 解：（I）如图①，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：AB=10，
∵OB=OD=3，
∴AD=10-3-3=4，
连接OE，
∵⊙O于AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{3}{6}=\frac{AE}{8}$，
∴AE=4；
（II）如图②，∵⊙O于AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC=90°，
∴∠CEF+∠OEF=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠OEF=∠CFE，
∴OE∥BC，
∵EF∥AB，
∴四边形EOBF是平行四边形，
∴EF=OB=3，
∴OE=OF=EF=3，
∴△EOF是等边三角形，
∴∠EOF=∠OEF=∠OFE=60°，
∵EF∥AB，
∴∠AOE=∠OEF=60°，
在Rt△AEO中，∴∠A=30°，
∵OE=3，
∴AO=6，
AE=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AD=AO-OD=6-3=3．

点评 此题考查了切线的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键，第二问的突破口是能正确证明四边形EOBF是平行四边形，另外本题也是易错题，第二问时不能应用第一问的条件．