Question

14．如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：$\sqrt{3}$，AB=10米，AE=15米．（i=1：$\sqrt{3}$是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平而AE的高度BH；
（2）求宣传牌CD的高度．
（结果精确到0.1米．参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH=$\frac{BH}{AH}$=i=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．得到∠BAH=30°，于是得到结果BH=AB．sin∠BAH=10．sin30°=10×$\frac{1}{2}$=5；
（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5$\sqrt{3}$，在Rt△ADE中，tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}$，即tan60°=$\frac{DE}{15}$，得到DE=15$\sqrt{3}$，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，求出BF=AH+AE=5$\sqrt{3}$+15，于是得到DF=DE-EF=DE-BH=15$\sqrt{3}$-5，在Rt△BCF中，∠C=90°-∠CBF=90°-45°=45°，求得∠C=∠CBF=45°，得出CF=BF=5$\sqrt{3}$+15，即可求得结果．

解答 解：（1）在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH=$\frac{BH}{AH}$=i=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB．sin∠BAH=10．sin30°=10×$\frac{1}{2}$=5．
答：点B距水平面AE的高度BH是5米；

（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5$\sqrt{3}$，
在Rt△ADE中，tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}$，
即tan60°=$\frac{DE}{15}$，∴DE=15$\sqrt{3}$，
如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，
∴BF=AH+AE=5$\sqrt{3}$+15，
DF=DE-EF=DE-BH=15$\sqrt{3}$-5，
在Rt△BCF中，∠C=90°-∠CBF=90°-45°=45°，
∴∠C=∠CBF=45°，
∴CF=BF=5$\sqrt{3}$+15，
∴CD=CF-DF=5$\sqrt{3}$+15-（15$\sqrt{3}$-5）=20-10$\sqrt{3}$≈20-10×1.732≈2.7（米），
答：广告牌CD的高度约为2.7米．

点评 本题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．