Question

15．如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求证：BF=FD；
（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=CB，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质证出EF=BF，EF=FD，即可得出结论．
（2）假设点D在运动过程中能使四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC=EF，由（1）知AC=CB=$\frac{1}{2}$AB，EF=BF=$\frac{1}{2}$BD，则BC=EF=BF，即BA=BD，∠A=45°．

解答 （1）证明：∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，∵点C为线段BA的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=CB，
∴∠CEB=∠CBE．
∵∠CEF=∠CBF=90°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF．
∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠FED=∠EDF，
∵EF=FD．
∴BF=FD．
（2）能．理由如下：
若四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC=EF，
∴BC=BF，
∴BA=BD，∠A=45°．
∴当∠A=45°时四边形ACFE为平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质是解决问题的关键．