Question

如图，抛物线与轴相交于点（﹣1，0）、（3，0），与轴相交于点，点为线段上的动点（不与、重合），过点垂直于轴的直线与抛物线及线段分别交于点、，点在轴正半轴上，=2，连接、．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）过点的直线将（2）中的平行四边形分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）

Answer 1

（1）抛物线的解析式为：；(2)点坐标为或；(3) ①当时，所求直线的解析式为：；②当时，所求直线的解析式为：.

试题分析：
（1）将点和点的坐标代入抛物线函数中，可求出未知量，.则可求出该抛物线解析式；（2）由平行四边形的性质可知，，用含未知量的代数式表示的长度。则可得点坐标 ；（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点与对称中心的直线平分的面积．求得此直线，首先要求得对称中心的坐标.则两点坐标可确定该直线.
试题解析：
（1）点、在抛物线上，
∴，
解得，，抛物线的解析式为：．
（2）在抛物线解析式中，令，得，．
设直线BC的解析式为，将，坐标代入得：
，解得，，∴．
设点坐标为，则，，
∴
四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
解得或，
∴点坐标为或．
（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点与对称中心的直线平分的面积．
①当时，点坐标为，又
设对角线的中点为，则．
设直线的解析式为，将，坐标代入得：
，
解得， ，∴所求直线的解析式为：；
②当时，
点坐标为，又，
设对角线的中点为，则．
设直线的解析式为，将，坐标代入得：
，解得，，所求直线的解析式为:．
综上所述，所求直线的解析式为：或．

【考点】1.一次函数解析式的解法；2.二次函数解析式的解法.