题目内容

如图，梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），AC、BD交于点O，若S_△OAB= $数学公式$ S_梯形ABCD，则△AOD与△BOC的周长之比是________．

2：3
分析：设AD=m，BC=n，由AD∥BC可知，AO：OC=DO：OB=m：n，由三角形等高的性质得出△AOD，△BOC与△OAB的面积关系，而△OAB与△OCD面积相等，从而得出梯形ABCD与△OAB的面积关系，利用已知条件求m：n即可．
解答：设AD=m，BC=n，（m＜n），
由AD∥BC可知，AO：OC=DO：OB=m：n，
∴S_△OAD= $\text{[math]}$ S_△OAB，S_△OCB= $\text{[math]}$ S_△OAB，
∴S_梯形ABCD=S_△OAB+S_△OCD+S_△OAD+S_△OCB=2S_△OAB+ $\text{[math]}$ S_△OAB+ $\text{[math]}$ S_△OAB
= $\text{[math]}$ S_△OAB，
∵S_△OAB= $\text{[math]}$ S_梯形ABCD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴6m²-13mn+6n²=0，
解得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∵m＜n，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴△AOD与△BOC的周长之比=AD：BC=m：n=2：3．
故答案为：2：3．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及梯形的性质．关键是利用平行线推出相似比，利用面积比的关系列方程求解．