Question

如图，边长为a的正方形ABCD沿直线l向右滚动．

（1）当正方形滚动一周时，正方形中心O经过的路程为______

Answer 1

【答案】分析：（1）要计算正方形滚动一周时，正方形中心O和顶点A所走的路程，就必须弄清它们的运动过程：
中心O：当正方形滚动一周时，中心O所经过的路程为4段弧，且都是以90°为圆心角、对角线的一半为半径，因此中心O实际经过的路程是一个圆，且半径为对角线的一半，由此得解；
点A：当正方形滚动一周时，点A也经过了4段弧，可分作两部分：
一、以90°为圆心角、对角线长为半径的两段弧，二、以90°为圆心角、边长长为半径的两段弧；
可根据弧长计算公式进行求解即可．
（2）根据（1）题的解题思路可知：当点A经过的路程为时，正方形滚动了10周，依此计算出中心O与初始位置的距离即可．
（3）很明显∠AA₁B₁是个钝角，要想套用题干给出的正切的两角和公式，就必须从∠AA₁B₁的两个补角入手，可设∠AA₁D=α、∠B₁A₁E=β，易求得两角的正切值，代入公式中，即可求出tan（α+β）的值，进而可得到∠AA₁D+∠B₁A₁E的度数，根据补角的定义，即可求得∠AA₁B₁的度数．
解答：解：（1）根据勾股定理可得：AC=a，即OC=a，
正方形中心O经过的路程=π，
点A经过的路程==．（6分）


（2）当点A经过的路程为时，即正方形滚动了10周，
正方形滚动一周的距离是4a，10周即是40a．（10分）

（3）135°；
验证：设∠AA₁D=α，∠B₁A₁E=β，则tanα=，tanβ=；
===1，
即α+β=45°，故∠AA₁B₁=180°-（α+β）=135°．（14分）
点评：本题主要是考查了弧长的计算方法以及锐角三角函数的定义，能够发现正方形滚动过程中，中心和顶点的移动轨迹是解答此题的关键．