题目内容
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在边上的点D处，点A、D的坐标分别为（5，0）和（3，0）。
（1）求点C的坐标；
（2）求DE所在直线的解析式；
（3）设过点C的抛物线
（b<0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）求点C的坐标；
（2）求DE所在直线的解析式；
（3）设过点C的抛物线
（b<0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。 
| 解：（1）根据题意，得CD=CB=OA=5，OD=3， ∵∠COD=90°， ∴OC=  ∴点C的坐标是（0，4）； （2）∵AB=OC=4，设AE=x，则DE=BE=4-x，AD=OA-OD=5-3=2， 在Rt△DEA中，DE2=AD2+AE2 ∴（4-x）2=22+x2 解之，得x=  ，即点E的坐标是（5， ），设DE所在直线的解析式为y=kx+b， ∴  解之，得 ∴DE所在直线的解析式为  ；（3）∵点C（0，4）在抛物线  上，∴c=4， 即抛物线为  假设在抛物线  上存在点G，使得△CMG为等边三角形，根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上，设点G的坐标为（m，n）， ∴  ，n= ，即点G的坐标为  设对称轴x=-  与直线CB交于点F，与x轴交于点H，则点F的坐标为（-  ，4），∵b＜0， ∴m＞0， 点G在y轴的右侧，DF=m=-  ，FH=4，FG=4- ∵CM=CG=2CF=-  ，∴在Rt△CGF中，CG2=CF2+FG2，  解之，得b=-2，（∵b＜0） ∴m=-  ，n= ，∴点G的坐标为  ，∴在抛物线  上存在点G ，使得△CMG为等边三角形。 |
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练习册系列答案
金牌教辅培优优选卷期末冲刺100分系列答案
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