Question

【题目】已知：是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点在线段上，且，，则：

①长为 ；的长为 ；

②猜想：，，三者之间的数量关系为 ；

（2）如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论依然成立，请你利用图②给出证明过程；

（3）若动点满足，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）

Answer 1

【答案】（1）①，；②AP2+BP2=PQ2；（2）证明见详解；（3）的值为或.

【解析】

（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长，再利用SAS证明△APC≌△BQC，得出BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，那么△PBQ为直角三角形，依据勾股定理求出PQ=，即可得到PC；

②过点C作CD⊥AB，垂足为D，由△ACB为等腰直角三角形，可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC-PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；

（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则可证明AP2+BP2=2PC2，在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，可得出AP2+BP2=PQ2的结论；

（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．

解：（1）如图①．连接BQ，

①△ABC是等腰直角三角形，AC=3，

∴AB=，

∵PA=，

∴PB=，

∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，

∴AC=BC，∠ACP=∠BCQ，PC=CQ，

∴△APC≌△BQC（SAS）．

∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．

∴△PBQ为直角三角形．

∴PQ=．

∵，

∴；

故答案为：，；

②如图①．过点C作CD⊥AB，垂足为D．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP2=（AD-PD）2=（DC-PD）2=DC2-2DCPD+PD2，

PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2，

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，

∴AP2+BP2=2PC2．

∵△CPQ为等腰直角三角形，

∴2PC2=PQ2．

∴AP2+BP2=PQ2；

故答案为：AP2+BP2=PQ2；

（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，

PB2=（DP-BD）2=（PD-DC）2=DC2-2DCPD+PD2，

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，

∴AP2+BP2=2PC2．

∵△CPQ为等腰直角三角形，

∴2PC2=PQ2．

∴AP2+BP2=PQ2；

（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

①点P位于点P1处时．

∵，

∴P1A＝AB＝．

在Rt△ACD中，由勾股定理得：

，

∴；

②当点P位于点P2处时．

∵，

∴P2A＝AB＝CD．

在Rt△ACD中，由勾股定理得：

，

∴；

综合上述，的值为：或.