Question

【题目】如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，过点作的切线，交于点．

（1）求证：；

（2）填空：

①当的度数为 时，四边形为正方形；

②若，，则四边形的最大面积是 ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②9．

【解析】

(1)根据已知条件得到CE是的切线．根据切线的性质得到DF=CF,由圆周角定理得到∠ADC=90°，于是得到结论;

(2)①连接OD,根据圆周角定理和正方形的判定定理即可得到结论;

②根据圆周角定理得到∠ADC=∠ABC=90°，根据勾股定理得到 根据三角形的面积公式即可得到结论．

（1）证明：∵是的直径，，

∴是的切线．

又∵是的切线，且交于点，

∴，

∴，

∵是的直径，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴．

(2)解:①当∠ACD的度数为45°时，四边形ODFC为正方形;

理由:连接OD,

∵AC为的直径,

∴∠ADC=90°,

∵∠ACD=45° ,

∴∠DAC=45°,

∴∠DOC=90° ,

∴∠DOC=∠ODF=∠OCF=90°, ．

∵OD=OC,

∴四边形ODFC为正方形;

故答案为：45°

②四边形ABCD的最大面积是9 ,

理由: ∵AC为的直径,

∴∠ADC=∠ABC=90°,

∵AD=4，DC=2 ,

∴,

∴要使四边形ABCD的面积最大，则△ABC的面积最大,

∴当△ABC是等腰直角三角形时，△ABC的面积最大，

∴四边形ABCD的最大面积：

故答案为：9