Question

20．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A 以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．当S_△BCD=$\frac{25}{4}$时，t的值为（　　）

• A． 2或2+3$\sqrt{2}$
• B． 2或2+3$\sqrt{3}$
• C． 3或3+5$\sqrt{3}$
• D． 3或3+5$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先证明△CAO∽△ABE，得出对应边成比例，得出BE=$\frac{1}{2}$t，AE=2．分两种情况：
①当0＜t＜8时；根据题意得出方程，解方程即可；
②当t＞8时；根据题意得出方程，解方程即可．

解答 解：根据题意得：∠BAC=90°，
∴∠CAO+∠BAE=90°，
∵BE⊥x轴，
∴∠AEB=90°=∠AOC，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CAO=∠ABE．
∴△CAO∽△ABE．
∴$\frac{CA}{AB}=\frac{AO}{BE}$=$\frac{OC}{AE}$，
∵M是AC的中点，AB=AM，
∴CA=2AB，
∴$\frac{2AB}{AB}=\frac{t}{BE}$=$\frac{4}{AE}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$t，AE=2．
分两种情况：
①当0＜t＜8时，如图1所示：
S=$\frac{1}{2}$CD•BD=$\frac{1}{2}$（2+t）（4-$\frac{t}{2}$）=$\frac{25}{4}$．
解得：t₁=t₂=3．
②当t＞8时，如图2所示：
S=$\frac{1}{2}$CD•BD=$\frac{1}{2}$（2+t）（ $\frac{t}{2}$-4）=$\frac{25}{4}$．
解得：t₁=3+5$\sqrt{2}$，t₂=3-5$\sqrt{2}$（不合题意，舍去）．
综上所述：当t=3或3+5$\sqrt{2}$时，S=$\frac{25}{4}$；
故选：D．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、角的互余关系、三角形面积的计算方法、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．