Question

边长为a，b，c的三角形有面积公式（海伦公式）：S=

s(s-a)(s-b)(s-c)

，其中s为半周，即s=

1

2

（a+b+c）．若△ABC的三边a，b，c满足a²+b²+c²=16，a⁴+b⁴+c⁴=96．则S_△ABC=

 

．

Answer 1

分析：由a²+b²+c²=16，a⁴+b⁴+c⁴=96，根据（a²+b²+c²）²=a⁴+b⁴+c⁴+2a²b²+2b²c²+2a²c²，即可求得2a²b²+2b²c²+2a²c²的值，又由s（s-a）（s-b）（s-c）=

1

2

（a+b+c）•

1

2

（b+c-a）•

1

2

（a+c-b）•

1

2

（a+b-c）=

1

16

[（2a²b²+2b²c²+2a²c²）-（a⁴+b⁴+c⁴）]，整体代入即可求得S_△ABC的值．

解答：解：∵a²+b²+c²=16，a⁴+b⁴+c⁴=96，
又∵（a²+b²+c²）²=a⁴+b⁴+c⁴+2a²b²+2b²c²+2a²c²，
即16²=96+（2a²b²+2b²c²+2a²c²），
∴2a²b²+2b²c²+2a²c²=160，
∵s=

1

2

（a+b+c），
∴s（s-a）（s-b）（s-c）=

1

2

（a+b+c）•

1

2

（b+c-a）•

1

2

（a+c-b）•

1

2

（a+b-c）=

1

16

[（2a²b²+2b²c²+2a²c²）-（a⁴+b⁴+c⁴）]=

1

16

×（160-96）=4，
∴S_△ABC=

s(s-a)(s-b)(s-c)

=

4

=2．
故答案为：2．

点评：此题考查了完全平方公式与海伦公式的应用．此题难度较大，解题的关键是由a²+b²+c²=16，a⁴+b⁴+c⁴=96，利用完全平方公式求得2a²b²+2b²c²+2a²c²的值，然后利用a，b，c表示出S_△ABC的值，注意整体思想的应用．