Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，其坐标为（0，4），x轴上的一动

P从原点O出发，沿x轴正半轴方向运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点

第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．

（1）填空：当t＝2时，点B的坐标为．

（2）在P点的运动过程中，当AB∥x轴时，求t的值；

（3）通过探索，发现无论P点运动到何处，点B始终在一直线上，试求出该直线的函数解析式．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，4）；（2）t=4；（3）y＝x﹣4

【解析】

（1）将点P的坐标向右平移2个单位到达点O，此时，点A的坐标为：（﹣2，4），将点A围绕点O顺时针旋转90°，此时点B的坐标为：（4，2），将点B的坐标向右平移2个单位，即为此时的点B（6，2），即可求解；

（2）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．证明四边形ABCO为长方形，则AO＝BC＝4，则△APB为等腰直角三角形，即可求解；

（3）证明△PAO≌△BPC（AAS）．则AP＝BP，AO＝PC，BC＝PO．点A（0，4），点P（t，0），点B（x，y），则PC＝AO＝4，BC＝PO＝t＝y，CO＝PC+PO＝4+y＝x，即可求解．

（1）将点P的坐标向右平移2个单位到达点O，此时，点A的坐标为：（﹣2，4），

将点A围绕点O顺时针旋转90°，此时点B的坐标为：（4，2），

将点B的坐标向右平移2个单位，即为此时的点B（6，2）；

（2）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．

∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，

∴四边形ABCO为长方形，

∴AO＝BC＝4．

∵△APB为等腰直角三角形，

∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，

∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，

∴△AOP为等腰直角三角形，

∴OA＝OP＝4，t＝4÷1＝4（秒）；

（3）∵△APB为等腰直角三角形，

∴∠APO+∠BPC＝180°﹣90°＝90°．

又∵∠PAO+∠APO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC．

∠PAO＝∠BPC，

在△PAO和△BPC中，∠AOP＝∠PCB＝90°，

∴△PAO≌△BPC（AAS）．

AP＝BP，

∴AO＝PC，BC＝PO．

∵点A（0，4），点P（t，0），点B（x，y），

∴PC＝AO＝4，BC＝PO＝t＝y，CO＝PC+PO＝4+y＝x，

∴y＝x﹣4．