Question

12．在△FBD中，点A、E分别是边FB、FD的中点，过点D作DC∥AB交AE的延长线于C点，连接CF．
（1）求证：四边形ABDC是平行四边形；
（2）若∠CDF=45°，FB=8，CF=$\sqrt{26}$，求△CDF的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明AE是△FBD的中位线，得出AE∥BD，即AC∥BD，再由已知条件DC∥AB，即可得出结论；
（2）作FG⊥DC交DC延长线于G，先证明△FDG是等腰直角三角形，得出FG=DG，设CG为x，则FG=DG=4+x，再根据勾股定理求出x，得出FG，即可求出△CDF的面积．

解答 （1）证明：∵点A、E分别是边FB、FD的中点，
∴AE是△FBD的中位线，
∴AE∥BD，即AC∥BD，
又∵DC∥AB，
∴四边形ABDC是平行四边形；
（2）解：作FG⊥DC交DC延长线于G，如图所示：
则∠DGF=90°，
∵∠CDF=45°，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∴FG=DG，
∵FB=8，
∴CD=AB=$\frac{1}{2}$FB=4，
设CG为x，则FG=DG=4+x，
在Rt△CFG中，根据勾股定理得：FG²+CG²=CF²，
即（4+x）²+x²=（$\sqrt{26}$）²，
解得：x=1，或x=-5（舍去），
∴x=1，
∴FG=5，
∴△CDF的面积=$\frac{1}{2}$CD•FG=$\frac{1}{2}$×4×5=10．

点评 本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理、三角形面积的计算；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线，设未知数列出方程才能求出结果．