Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过直线y=-

2

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x+2与x轴、y轴的交点，并且还过点（-3，-2）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出图象，写出顶点坐标，对称轴；
（3）观察图象，x取什么值时，y＞0？

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质

专题：

分析：（1）一次函数y=-

2

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x+2的图象与x轴、y轴的交点在二次函数图象上，分别令一次函数x=0，y=0求出其与x轴、y轴的交点，再根据点（-3，-2）也在二次函数图象上，把三点代入二次函数的解析式，用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）利用配方法将一般式化为顶点式，写出顶点坐标，对称轴，再画出图象即可；
（3）抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．

解答：解：（1）∵y=-

2

3

x+2，
∴当y=0时，-

2

3

x+2=0，解得x=3，
当x=0时，y=2，
∴直线y=-

2

3

x+2与x轴的交点坐标为（3，0），与y轴的交点坐标为（0，2），
∵y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过直线y=-

2

3

x+2与x轴y轴的交点，并且还过点（-3，-2），
∴

9a+3b+c=0 c=2 9a-3b+c=-2

，
解得

a=- 1 3 b= 1 3 c=2

，
所以，二次函数的解析式为y=-

1

3

x²+

1

3

x+2；

（2）∵y=-

1

3

x²+

1

3

x+2=-

1

3

（x-

1

2

）²+

1

12

+2=-

1

3

（x-

1

2

）²+

25

12

，
∴顶点坐标为（

1

2

，

25

12

），
对称轴为直线x=

1

2

，
函数图象如图所示；

（3）由图可知，当-2＜x＜3时，y＞0．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式是常用的方法，需熟练掌握并灵活运用，（2）整理成顶点式形式求解更简便．