Question

如图，经过原点的抛物线y=-x²+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连结CB，CP．
（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当m＞1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先令y=0，求出A点坐标，进而得出B点坐标，进而求出BC的长；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H，连接AC，得出△ACH∽△PCB，进而求出AH=1，CH=2m-1，进而得出m的值．

解答：解：（1）当m=3时，y=-x²+6x令y=0，
得-x²+6x=0，
解得：x₁=0，x₂=6，
则A（6，0）
当x=1时，y=5，故B（1，5）
∵抛物线y=-x²+6x的对称轴为直线x=3，
又∵B、C关于对称轴对称，
∴BC=4；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H，
由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB     
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
∴△ACH∽△PCB
∴

AH

CH

=

PB

PC

，
∵抛物线y=-x²+2mx（m＞0）的
对称轴为直线x=m，其中m＞1，
又∵B，C关于对称轴对称，
∴BC=2（m-1）
∵B（1，2 m-1），P（1，m），
∴BP=m-1，
又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），
∴H（2m-1，0）
∴AH=1，CH=2m-1
∴

1

2m-1

=

m-1

2(m-1)

，
解得：m=

3

2

，
即m=

3

2

时CA⊥CP．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质等知识，利用m表示出各边长是解题关键．