Question

如图，过点C的直线l∥x轴，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）过A（-1，0），C（0，1）两点，且截直线l所得线段CD=

2

3

．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M（m，t）（m＜0，t＞0）在抛物线上，MN∥x轴，且与该抛物线的另一交点为N，问：是否存在实数t，使得MN=2AO？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据A，C，D三点坐标用待定系数法来求出抛物线的解析式．本题中D点的坐标不确定，因此要分两种情况进行求解．
（2）由于抛物线的解析式有两个，因此要分类讨论．求解时，可设出N点的坐标，然后用M，N的横坐标表示出MN的长，根据韦达定理可用t表示出M、N两点横坐标的和与积，由此可用含t的式子表示出OA的长，即可求出t的值．

解答：解：（1）∵l∥x轴，C（0，1），CD=

2

3

，
∴D点坐标为D（-

2

3

，1）或D（

2

3

，1），
当抛物线过A（-1，0），C（0，1），D（-

2

3

，1）时．

a-b+c=0 c=0 4 9 a+ 2 3 b+c=1

，
解得

a=-3 b=-2 c=1

，
当抛物线过A（-1，0），C（0，1），D（

2

3

，1）时．

a-b+c=0 c=1 4 9 a+ 2 3 b+c=1

，
解得

a=- 3 5 b= 2 5 c=1

，
故所求的抛物线的解析式为y=-3x²-2x+1或y=-

3

5

x²+

2

5

x+1．

（2）若点M（m，t）在抛物线y=-3x²-2x+1上，
因抛物线对称轴在y轴左侧，线段MN在x轴上方，
故MN＜2AO．
因此不存在实数t，使得MN=2AO．
若点M（m，t）在抛物线y=-

3

5

x²+

2

5

x+1上，
则存在实数t，使得MN=2AO．
设N（n，t），
则有t=-

3

5

n²+

2

5

n+1，又t=-

3

5

m²+

2

5

m+1．
故m、n是方程-

3

5

x²+

2

5

x+1-t=0的两个实数根．
∴m+n=

2

3

，mn=-

5

3

（1-t），
∴MN=n-m=

(m+n)2-4mn

=

( 2 3 )2+4× 5 3 (1-t)

=2AO=2，
∴t=

7

15

．

点评：数形结合、方程函数的数学思想在数学综合题中充分利用，对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数和几何的结合上找出解题思路．