Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足b=

a2-4 + 4-a2 +16

a+2

（1）求直线AB的解析式；
（2）第一象限内是否存在一点M，使△ABM是等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2过点A的直线y=kx-2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为-1，过点N的直线y=

k

2

x-

k

2

交AP于点M，交x轴于点C，求证：NC=MC．

Answer 1

分析：（1）由二次根式的被开方数是非负数可以求得a、b的值．则易求点A、B的坐标．设直线AB的方程为y=kx+b（k≠0），将其分别代入该解析式列出关于k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（2）需要分类讨论：当AB为底和当AB为腰时，分别求得点M的坐标；
（3）将y=kx-2k与y=

k

2

x-

k

2

联立求出M的坐标为（3，k），由条件可求得N的坐标为（-1，-k），C的坐标为（1，0），作CG⊥x轴于G点，MH⊥x轴于H点，可证△NGC≌△MHC，得NC=MC．

解答：解：（1）依题意，得：

a2-4≥0 4-a2≥0 a+2≠0

，
解得a=2；
则b=4．
所以A（2，0），B（0，4），
设直线AB解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入得：

2k+b=0 b=4

，
解得：

k=-2 b=4

，
则直线AB的解析式为y=-2x+4； 
                    
（2）如图1，分三种情况：

①如图1，当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中

∠MNB=∠BOA ∠NMB=∠ABO BM=AB

，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐标为（4，6 ）；
②如图2

当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2）；
③如图4，

当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
设M（x，x），
由勾股定理得，
（x-2）²+x²=（4-x）²+x²，
解得，x=3；
∴M点的坐标为（3，3）
综上所知M点的坐标为（4，6）（6，2）（3，3）；


（3）将y=kx-2k与y=

k

2

x-

k

2

联立求出M的坐标为（3，k），
由条件可求得N的坐标为（-1，-k），C的坐标为（1，0），
作CG⊥x轴于G点，MH⊥x轴于H点，
可证△NGC≌△MHC，得NC=MC．

点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．