Question

20．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形．
②求证：DC²+BC²=AC²．（即四边形ABCD是勾股四边形）

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠A=90°，由勾股定理得出AB²+AD²=BD²，得出矩形是勾股四边形；同理得出正方形是勾股四边形；（2）①由旋转的性质得出AC=DE，BC=BE，即可得出结论；②由等边三角形的性质得出BC=CE，∠BCE=60°，证出∠DCE=90°，由勾股定理即可得出结论．

解答 （1）解：矩形、正方形是勾股四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，如图所示：
∴∠A=90°，
∴AB²+AD²=BD²，
∴矩形ABCD是勾股四边形；
同理：正方形是勾股四边形；
（2）①证明：由旋转的性质得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形；
②证明：∵△BCE是等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE²，
∵BC=CE，DE=AC，
∴DC²+BC²=AC²．

点评 本题考查了新定义“勾股四边形”、全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形、正方形的性质、勾股定理，正确理解勾股四边形的定义是解决问题的关键．