Question

【题目】如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于另一点A．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是线段BC下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作PD∥y轴交BC于点D，以PD为直径的圆交BC于另一点E，求DE的最大值及此时点P的坐标；

（3）当（2）中的DE取最大值时，将△PDE绕点D旋转，当点P落在坐标轴上时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）m=2时，DE有最大值，此时P；（3），或E或

【解析】

（1）求出，，将与代入抛物线解析式即可求出、的值，进而确定函数解析式；

（2）设，可得，利用P、D的坐标表示出PD，再由点到直线距离公式求得线段PE的代数式，根据勾股定理求得线段DE的代数式，通过整理即可得到当时，有最大值，此时；

（3）当点P落在坐标轴上时，先求出P点坐标，再分三种情况讨论：①当时；②当；③；分别求出点坐标即可．

解：（1）在直线中，

当时，，即，

当时，，即

将，分别代入得：

，

解得：，

；

（2）设，

是线段下方，

，

直线的解析式为，

轴与交于点，

，

，

，则PE为点P到直线BC：的距离，

∴，

在中，由勾股定理得：，

∴，

当时，有最大值，此时；

（3）由（2）可知，，，，；

①如图1，当P点落在如图所示的位置，即，延长与轴交于点，

，，

∵，

，

，

∴，

过点作，过点作交的延长线于点；

，

∴∠DE'G+∠E'DG=∠DE'G+∠P' E'H=90°，

∴∠E'DG=∠P' E'H，

∴△DGE'∽△E'HP'，

，

，

设，则，，，，

整理得：，解得：，

∴；

②如图2，与关于对称，

∴，

过点作轴垂线，过点D作DM⊥交的延长线于点M，

同理①得：△DME'∽△E'NP'，

∴，

，

设，则，，，，

∴，

整理得：，解得：，

∴；

③如图3，在y轴上，

∵，

，

，

过点作，

设，则，，

在△中，

，

，

，

，

，

∴；

综上所述：当点P落在坐标轴上时，点E的坐标为或或．