Question

12．问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
初步思考：
（1）试计算出正方形零件的边长；
深入探究：
（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与高AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是：AD=BC．（直接写出结论，不用说明理由）；
（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B=30°，求证：AB=BC．

Answer 1

分析 （1）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80-x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；
（2）BC=AD，如图2由已知条件得：EF∥GH∥BC，通过△GBN≌△EGM，得到EG=BG，根据△AEF∽△AGH，得到比例式$\frac{AE}{AG}=\frac{EF}{GH}=\frac{1}{2}$，证得AE=EG，于是得到AE=EG=GB，再由△AEF∽△ABC，得到比例式$\frac{AP}{AD}=\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，即可得到结论．
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于D，分别交EF、GH于点M、N，设每个正方形的边长为a，根据EF∥GH∥BC，推出△AEF∽△AGH∽△ABC，于是得到$\frac{AM}{EF}=\frac{AN}{GH}=\frac{AD}{BC}$，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80-x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$，
∴$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，
解得x=48．
答：正方形零件的边长为48mm．

（2）BC=AD，
如图2由已知条件得：EF∥GH∥BC，
在△GBN与△EGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGM=∠B}\\{∠EMG=∠GNB}\\{EM=GN}\end{array}\right.$，
∴△GBN≌△EGM，
∴EG=BG，
∵△AEF∽△AGH，
∴$\frac{AE}{AG}=\frac{EF}{GH}=\frac{1}{2}$，
∴AE=EG，
∴AE=EG=GB，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，
∵PD=2x，
∴AD=3x，BC=3x，
∴AD=BC，
故答案为：AD=BC；

（3）如图3，过点A作AD⊥BC于D，分别交EF、GH于点M、N，
设每个正方形的边长为a，
∵EF∥GH∥BC，
∴△AEF∽△AGH∽△ABC，
∴$\frac{AM}{EF}=\frac{AN}{GH}=\frac{AD}{BC}$，
∴$\frac{AD-2a}{a}=\frac{AD-a}{3a}=\frac{AD}{BC}$，
解得AD=2.5a，BC=5a，
∴BC=2AD．
∵∠B=30°，AD⊥BC，
∴AB=2AD，
∴AB=BC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．