Question

4．如图，已知⊙O经过点A（2，0）、C（0，2）．直线y=kx（k≠0）与⊙O分别交于点B、D，则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分类讨论：当k＜0，如图1，作BE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，设∠AOD=α，则∠EBO=α，利用三角函数的定义可得DF=2sinα，BE=2cosα，则根据三角形面积公式得到S_{四边形ADBC}=S_△AOD+S_△BOC+S_△AOC=2sinα+2cosα+2，利用三角公式得到S_{四边形ADBC}=2$\sqrt{2}$sin（45°+α）+2，利用正弦的性质得sin（45°+α）≤1，于是可得此时S_{四边形ADBC}的最大值为2$\sqrt{2}$+2；当k＞0，如图2，作BE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，设∠AOD=α，则∠EBO=α，同理可得DF=2sinα，OF=2cosα，BE=2cosα，OE=2sinα，根据三角形面积公式得S_{四边形ABCD}=S_△AOB+S_△AOD+S_△DOC+S_△BOC=4sinα+4cosα，同样可得S_{四边形ABCD}=4$\sqrt{2}$sin（45°+α），由于sin（45°+α）≤1，则可得到S_{四边形ADBC}的最大值为4$\sqrt{2}$，综上所述，四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为4$\sqrt{2}$．

解答 解：当k＜0，如图1，作BE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，设∠AOD=α，则∠EBO=α，
∵⊙O经过点A（2，0）、C（0，2），
∴⊙O的半径为2，
在Rt△OFD中，∵sin∠FOD=$\frac{DF}{OD}$，
∴DF=2sinα，
同理可得BE=2cosα，
S_{四边形ADBC}=S_△AOD+S_△BOC+S_△AOC
=$\frac{1}{2}$•2•2sinα+$\frac{1}{2}$•2•cosα+$\frac{1}{2}$•2•2
=2sinα+2cosα+2
=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα）+2
=2$\sqrt{2}$（sin45°•cosα+cos45°•sinα）+2
=2$\sqrt{2}$sin（45°+α）+2，
∵sin（45°+α）≤1，
∴S_{四边形ADBC}≤2$\sqrt{2}$+2，即此时S_{四边形ADBC}的最大值为2$\sqrt{2}$+2；
当k＞0，如图2，作BE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，设∠AOD=α，则∠EBO=α，
同理可得DF=2sinα，OF=2cosα，BE=2cosα，OE=2sinα，
S_{四边形ABCD}=S_△AOB+S_△AOD+S_△DOC+S_△BOC
=$\frac{1}{2}$•2•2sinα+$\frac{1}{2}$•2•sinα+$\frac{1}{2}$•2•cosα+$\frac{1}{2}$•2•cosα
=4sinα+4cosα
=4$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα）
=2$\sqrt{2}$（sin45°•cosα+cos45°•sinα）
=4$\sqrt{2}$sin（45°+α）
∵sin（45°+α）≤1，
∴S_{四边形ADBC}≤4$\sqrt{2}$，即此时S_{四边形ADBC}的最大值为4$\sqrt{2}$，
综上所述，四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为4$\sqrt{2}$．
故答案为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的有关性质和一次函数的性质；理解坐标与图形性质；学会构造直角三角形和解直角三角形；会运用三角函数公式．