题目内容

已知如图，A、B两点的坐标分别为A（0，2 $数学公式$ ），B（2，0），直线AB与反比例函数y= $数学公式$ 的图象交于C和D（-1，a）
（1）求直线AB和双曲线的解析式；
（2）求∠ACO的度数；
（3）将△OBC绕O逆时针方向旋转角α（α为锐角）得到OB′C′，当α=______度时OC′⊥AB．

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（0，2 $\text{[math]}$ ），B（2，0）代入解析式y=kx+b中，得 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ．
∴直线AB的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$ ，
将D（-1，a）代入y=- $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$ 得：a=3 $\text{[math]}$ ，
∴点D坐标为（-1，3 $\text{[math]}$ ），
将D（-1，3 $\text{[math]}$ ）代入y= $\text{[math]}$ 中得：m=-3 $\text{[math]}$ ，
∴反比例函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ ；

（2）联立得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴点C坐标为（3，- $\text{[math]}$ ），
过点C作CM⊥x轴于点M，则在Rt△OMC中，CM= $\text{[math]}$ ，OM=3，
∴tan∠COM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴∠COM=30°，
在Rt△AOB中，tan∠ABO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠ABO=60°，
∴∠ACO=∠ABO-∠COE=30°；

（3）如图，若OC′⊥AB，则有∠BNO=90°，
∵∠NBO=60°，∴∠BON=30°，
∵∠COM=30°，
∴∠COC′=∠COM+∠BON=60°，即旋转角为60°，
则当α=60°时，OC′⊥AB．
故答案为：60．
分析：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB解析式，将D坐标代入直线AB解析式求出a的值，确定出D坐标，将D坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（2）联立直线AB与反比例解析式，求出交点C坐标，过C作CM垂直于x轴，在直角三角形COM值，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠COM的度数，在直角三角形AOB中，同理求出∠ABO的度数，由外角性质即可求出∠ACO的度数；
（3）根据题意画出图形，求出OC′⊥AB时的旋转角即可确定出α度数．
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，锐角三角函数定义，以及旋转的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．