题目内容

已知反比例函数 $数学公式$ 的图象与一次函数y₂=ax+b（a≠0）的图象交于点A（-4，1）和点B，直线y₂=ax+b分别交x轴、y轴于C、D两点，且tan∠OCD= $数学公式$ ．
（1）求这两个函数的关系式，并求出B点的坐标；
（2）观察图象，直接写出使得y₁＜y₂成立的自变量x的取值范围．

解：（1）把A（-4，1）代入 $\text{[math]}$ 得：1= $\text{[math]}$ ，
解得：k=-4，
即反比例函数的关系式是y₁=- $\text{[math]}$ ，
y₂=ax+b，
当x=0时，y=b，
当y=0时，x=- $\text{[math]}$ ，
即OC= $\text{[math]}$ ，OD=-b，
∵tan∠OCD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴a=- $\text{[math]}$ ，
∵把A（-4，1）代入一次函数y₂=ax+b得：1=-4a+b，
∴1=-4×（- $\text{[math]}$ ）+b，
∴b=-1，
即一次函数的关系式是y₂=- $\text{[math]}$ x-1．
解 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵A（-4，1），
∴B的坐标是（2，-2）．

（2）使得y₁＜y₂成立的自变量x的取值范围是：x＜-4或0＜x＜2．
分析：（1）把A（-4，1）代入y₁= $\text{[math]}$ 求出k，即可得出反比例函数的关系式；求出直线y₂=ax+b与x、y轴的交点，求出OD、OC，根据tan∠OCD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出a=- $\text{[math]}$ ，把A（-4，1）代入一次函数y₂=ax+b得出1=-4a+b，求出b，即可得出一次函数的解析式；
（2）解方程组 $\text{[math]}$ 求出两函数的交点的横坐标是-4和2，结合图象即可得出答案．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数、反比例函数的解析式等知识点，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较好．