题目内容
【题目】如图，直角坐标系中，直线 y=kx+b 分别交x,y轴于点A(-8，0)，B(0，6)，C（m,0）是射线AO上一动点，⊙P过B，O，C三点，交直线AB于点D（B，D不重合）.
（1）求直线AB的函数表达式.
（2）若点D在第一象限，且tan∠ODC=
， 求点D的坐标.
（3）当△ODC为等腰三角形时，求出所有符合条件的m的值.
（4）点P，Q关于OD成轴对称，当点Q恰好落在直线AB上时，直接写出此时BQ的长.
【答案】（1）y=
x+6；（2）D（ 
， 
）；（3）m的值为-3或
或12或 8；（4）BQ=
.
【解析】
（1）把A、B两点坐标代入y=kx+b求出k、b的值即可；（2）连结BC，作DE⊥OC于点E，根据圆周角定理可得∠OBC=∠ODC，由tan∠ODC=
可求出OC的长，进而可得AC的长，利用∠DAC的三角函数值可求出DE的长，即可得D点纵坐标，代入直线AB解析式求出D点横坐标即可得答案；（3）分四种情况泰伦，利用两点间距离公式及相似三角形对应边成比例列式即可；（4）分析四边形DPOQ为菱形，推出∠BOP=∠ABO，利用三角函数求线段长度；
解：
（1）∵A（-8，0）、B（0，6）在y=kx+b上，
∴
，解得
，
∴直线AB的函数表达式为y=
x+6.
（2）连结BC，作DE⊥OC于点E，
∵∠BOC=90°，
∴BC为⊙P的直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠OBC=∠ODC，tan∠ODC=
，
∴
，
∵OB=6，OA=8，
∴OC=10，AC=18，AB=10，
∵cos∠DAC=
=
，sin∠DAC=
=，
，
，
令 
，
，
，
∴D（ 
，
）
（3）①如图2所示，当DC=OC时，
∵BC=BC，∠BDC=∠BOC=90°，
∴△BDC≌△BOC(HL)，
∴BD=BO=6，
设点D的坐标为（n，
），
∴BD=
，
解得n=
，
∴D（ ，
），
∵C（m，0），
∴DC=
，
解得m=-3.
②如图3所示，当OD=DC时，
过D作DE⊥OC于点E，
设点D的坐标为（a，
），则m=2a，
∴DE=， EC=a，AE=8+a，
∴△ADE∽△DCE，
∴
，
即
，
解得
（舍去），
∴m=
.
③如图4所示，当DC=OC时，
∵OC=m，
∴CD=m，
∴AD=
，
∴AC=
，
∴8+m=，
解得m=12.
④如图5所示，当OD=OC时，
OC=OD=m，
∴AC=8+m，
∴AD=AC×cos∠BAO=
，
则AH=AD×cos∠BAO=
，
∴OH=AH-8=
，
∵DH=AD×sin∠BAO=
，
∴
，
解得m=±8.
∵m>0
∴m=8
综上所述，m的值为-3或或12或 8.
（4）解：如图6所示，连结OQ，
∵PD=DQ，PO=OQ，PD=OP，
∴DQ=DP=PO=OQ，
∴四边形DQOP为菱形，
∴DQ∥PO，
∴∠BOP=∠PBO=∠ABO，
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，P为BC中点
∴BP=
BC=BO÷cos∠BOP=5，
∴OQ=5，
设点Q的坐标为（c，
），
则OQ=
，
∴
∵c=-4时，B、D重合
∴c=-4不符合题意，舍去
∴
∴Q（-
，
），
∴BQ=
.
