题目内容
如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上. 把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处。动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动，
（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；
（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由。
（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；
（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由。
| 解：（1）P（0，5），M（8，1）； | |
（2）10当0≤t≤5时，S= ；20当5≤t≤8时，如图1，设EF与PM交点为R， 作RI⊥y轴，MS⊥y轴， ∵EO=FO， ∴RI=FI， 又∵  ，∴RI=2PI， ∴FI=2PI， ∴FP=PI，PI=2PF， ∴PF=t-5，RI=2（t-5）， ∴S=S△OEF-S△PRF =  =  。 |
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| （3）10如图2作PM的中垂线交正方形的边为点H1，H2， 则PH1=MH1，PH2=MH2， ∴点H1，H2即为所求点， 设OH1=x， ∵PH1=MH1， ∴x2+52=（8-x）2+12，  ，∴H1（  ）；同理，设CH2=y， ∵PH2=MH2， ∴32+y2=（8-y）2+72，  ，∴H2（  ）； 20当PM=PH3时， ∵  ，∴  ，又∵PO=5， ∴  ，∴  ；30当PM=MH4时， ∵  ，∴  ，又∵BM=7， ∴  ， ∴  ；综上，一共存在四个点，H1（  ），H2（ ）， 。 |
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| （4）∵∠PQN=90°， ∴∠CQP=∠BQN=90°， 又∵∠CQP+∠CPQ=90°， ∴∠CPQ=∠BQN， 又∵∠C=∠B=90°， ∴△CPQ∽△BQN， 设CQ=m， 则在Rt△CPQ中， ∵m2+CP2=（8-CP）2， ∴  ，∴  ，又∵△CPQ的周长=CP+PQ+CQ=8+m， ∴△BQN的周长=  =16，∴△BQN的周长不发生变化，其值为16。 |
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