题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，点P从点A出发沿线路AB-BC作匀速运动，点Q从AC的中点D同时出发沿线路DC-CB作匀速运动逐步靠近点P，设P，Q两点运动的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒（a＞1），它们在t秒后于BC边上的某一点相遇．
（1）求出AC与BC的长度；
（2）试问两点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？
（3）若以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出a与t的值．（ $数学公式$ =1.732，结果精确到0.1）

解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，
∴AC=2AB=24（厘米）．
BC= $\text{[math]}$ AB=12 $\text{[math]}$ （厘米）．

（2）E点不会是BC的中点．
在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么
BE=t-12，CE=at-12，
∵a＞1，
∴at-12＞t-12．
∴E点不会是BC的中点．

（3）若以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，
当过D点作DE₁∥AB，交CB于E₁
则△DCE₁∽△ACB时，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴E点是BC的中点．
但CE₁=at-12，BE₁=t-12，
∵a＞1，故at-12＞t-12，
即CE₁＞BE₁，与E点是BC的中点矛盾，
当过D点作DE₂⊥AC，交CB于E₂
则△DCE₂∽△ABC $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CE₂=24× $\text{[math]}$ =8 $\text{[math]}$ ，
依题意得， $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
∴t=18.9秒，a=1.4厘米/秒．
分析：（1）根据已知条件和三角函数就可以得出AC与BC的长度；
（2）在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么，BE=t-12，CE=at-12，这两个式子相等的t的值不存在；
（3）以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，根据对应边的不同可以分几种情况进行讨论．当过D点作DE₁∥AB时，△DCE₁∽△ACB，根据相似三角形的对应边的比相等就可以解出．当过D点作DE₂⊥AC，交CB于E₂，则△DCE₂∽△ABC，根据相似三角形的性质易得结论．
点评：本题是一个综合题，有一定的难度，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定等知识．