题目内容

计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
=
 
．
分析：经观察
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…，
1
2008×2009
=
1
2008
-
1
2009

再将
1
1×2
，
1
2×3
，
1
3×4
，…，
1
2008×2009
代入
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
后，相加减，即可求得值．
解答：解：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…
1
2008×2009
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2008
-
1
2009
=1-
1
2009
=
2008
2009
点评：本题有效利用
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
（n为自然数）这一规律来解题，同学们对于这类题目，关键是经过观察，找到规律，使很多数抵消掉，最终求解．
练习册系列答案
相关题目
观察下列各式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…
（1）根据以上式子填空：
①
1
8×9
=
 
；  ②
1
n×(n+1)
=
 
（n是正整数）
（2）根据以上式子及你所发现的规律计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
…+
1
2007×2008
+
1
2008×2009
观察下列二次根式的运算：
1
1+
2
=-1+
2
1
2
+
3
=-
2
+
3
1
3
+
4
=-
3
+
4
…
1
2004
+
2005
=-
2004
+
2005
1
2005
+
2006
=-
2005
+
2006

请利用上面的规律计算：(
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…+
1
2004
+
2005
+
1
2005
+
2006
)(1+
2006
)．
阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：(2+
3
)(2-
3
)=1，2+
3
与2-
3
的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式
2+
3
2-
3
可以这样解：
2+
3
2-
3
=
(2+
3
)(2+
3
)
(2-
3
)(2-
3
)
=
7+4
3
1
=7+4
3
，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：①4+
7
的有理化因式是
4-
7
4-
7

②计算：
1
2+
3
+
27
-6
1
3

③计算：
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…
1
1999
+
2000
．
阅读以下材料：观察下列等式，找找规律
①
1
2
+1
=
2
-1
(
2
+1)(
2
-1)
=
2
-1
②
1
3
+
2
=
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2
；
③
1
4
+
3
=
4
-
3
(
4
+
3
)(
4
-
3
)
=
4
-
3

（1）化简：
1
2
3
+
11

（2）计算：
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4

（3）计算：
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…+
1
n-1
+
n
（n≥2）
观察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，将以上三个等式两边分别相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

（1）猜想并写出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
；
（2）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
．

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