Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2＋2ax－3a的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C．

（1）请直接写出A、B两点的坐标：A ， B ；

（2）若以AB为直径的圆恰好经过这个二次函数图像的顶点．

①求这个二次函数的表达式；

②若P为二次函数图像位于第二象限部分上的一点，过点P作PQ平行于y轴，交直线BC于点Q．连接OQ、AQ，是否存在一个点P，使tan∠OQA＝？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0）、B（－3，0）；（2）①y＝－x2－x＋；②存在，P（－，）

【解析】分析：（1）令y＝0，解关于x的方程，即可求出A、B两点的坐标；

（2）①根据AB的长及抛线顶点坐标公式，即可求出抛物线的解析式；

②利用函数三角函数及相似的判定与性质即可求出答案.

详解：（1）把y＝0代入二次函数y＝ax2＋2ax－3a，

，

∵，

∴，

解得，

∴A（1，0）、B（－3，0）；

（2）①∵抛物线顶点（－1，－4a），AB＝4，

∴－4a＝2，∴a＝－，

∴y＝－x2－x＋，

②存在一个点P（－，），使tan∠OQA＝，

∵＝ ＝，

∴tan∠ABQ＝，

∴∠OQA＝∠QBA，

∴△AQO∽△ABQ．

∴AQ2＝AO×AB＝4，

设点P（x，－x2－x＋），则Q（x， x＋），

∴（1－x）2＋（x＋）2＝4，

解得x＝－或x＝1（不合题意，舍去），

∴点P的坐标为（－，）．