Question

【题目】我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：

（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，则∠C=　 　°，∠D=　 　°

（2）在探究等对角四边形性质时：

小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请你证明该结论；

（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD．

要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．

（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长．

Answer 1

【答案】（1）140°，75°；（2）证明见解析；（3）见解析；（4）2或2．

【解析】

试题（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=75°，根据多边形内角和定理求出∠C即可；
（2）连接BD，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；
（3）根据等对角四边形的定义画出图形即可求解；
（4）分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，先用含30°角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；
②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN=BM=3，BN=DM=2，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可．

试题解析：

（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，

∴∠D=∠B=75°，

∴∠C=360°﹣75°﹣75°﹣70°=140°；

（2）证明：如图2，连接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD；

（3）如图所示：

（4）解：分两种情况：

①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，

∴∠E=30°，

∴AE=2AB=10，

∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，

∵∠EDC=90°，∠E=30°，

∴CD=2，

∴AC=；

②当∠BCD=∠DAB=60°时，

过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：

则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，

∵∠DAB=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM=AD=2，

∴DM=2，

∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3，

∵四边形BNDM是矩形，

∴DN=BM=3，BN=DM=2，

∵∠BCD=60°，

∴CN=，

∴BC=CN+BN=3，

∴AC=．

综上所述：AC的长为或．

故答案为：140，75．