题目内容

如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．
（1）求S_△DBF；
（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S_△DBF；
（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S_△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵点F在AD上，
∴AF²=a²+a²，即AF= $\text{[math]}$ a，
∴DF=b- $\text{[math]}$ a，
∴S_△DBF= $\text{[math]}$ DF×AB= $\text{[math]}$ ×（b- $\text{[math]}$ a）×b= $\text{[math]}$ b²- $\text{[math]}$ ab；

（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，
∴四边形AFDB是梯形，
∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底，
由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，
∴S_△DBF=S_△ABD= $\text{[math]}$ b²；

（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆，
第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值，
因为△BFD的边BD= $\text{[math]}$ b，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S_△BFD取得最大、最小值．
如图②所示DF⊥BD时，S_△BFD的最大值=S_△BFD= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ b•（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a）= $\text{[math]}$ ，
S_△BFD的最小值=S_△BFD= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ b•（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ a）= $\text{[math]}$ ，
第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值．
∴S_△BFD的最大值= $\text{[math]}$ ．（如果答案为4a²或b²也可）．
分析：（1）根据图形的关系，可得AF的长，根据三角形面积公式，可得△DBF的面积；
（2）连接AF，由题意易知AF∥BD；△DBF与△ABD同底等高，故面积相等；
（3）分析可得：当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S_△BFD取得最大、最小值；分两种情况讨论可得其最大最小值．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．