Question

如图：抛物线经过A（﹣3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC有最小值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（注：抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=﹣）

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为： y=a（x+3）（x﹣4）， ∵B（0，4）在抛物线上， ∴4=a（0+3）（0﹣4）， 解得：a=﹣， 所以抛物线解析式为： y=﹣（x+3）（x﹣4）， 即y=﹣x2+x+4； （2）连接DQ，在Rt△AOB中， AB===5， ∴AD=AB=5， AC=AO+CO=3+4=7， CD=AC﹣AD=7﹣5=2， ∵BD垂直平分PQ， ∴PD=QD，PQ⊥BD， ∴∠PDB=∠QDB ∵AD=AB， ∴∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB， ∴DQ∥AB， ∴∠CQD=∠CBA．∠CDQ=∠CAB， ∴△CDQ∽△CAB， ∴， 即=，DQ=， ∴AP=AD﹣DP=AD﹣DQ=5﹣=， t=÷1=， ∴t的值是； （3）对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小．理由如下： ∵抛物线的对称轴为x=﹣=， ∴A（﹣3，0），C（4，0）两点关于直线x=对称，连接AQ交直线x=于点M， 则MQ+MC的值最小． 过点Q作QE⊥x轴于E， ∴∠QED=∠BOA=90°， ∵DQ∥AB， ∴∠BAO=∠QDE， ∴△DQE∽△ABO， ∴， 即==， ∴QE=，DE=， ∴OE=OD+DE=2+=， ∴Q（，）， 设直线AQ的解析式为y=kx+m（k≠0） 则， 解得：， ∴直线AQ的解析式为y=x+． 联立， 解得：， ∴M（，）， ∴在对称轴上存在点M（，），使MQ+MC的值最小．