Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
 （2）在（1）的条件下，若AC=6，BC=8，请求出CD的长度．

Answer 1

考点：角平分线的性质,勾股定理,作图—基本作图

专题：

分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；
（2）设CD的长为x，然后用x表示出DB、DE、BF利用勾股定理得到有关x的方程，解之即可．

解答：解：（1）如图所示：所以点D为所求；


（2）过点D做DE⊥AB于E，设DC=x，则BD=8-x
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8
∴由勾股定理得AB=

AC2+BC2

=10…（3分）
∵点D到边AC、AB的距离相等
∴AD是∠BAC的平分线
又∵∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=DC=x，
在Rt△ACD和Rt△AED中，

AD=AD DC=DE

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
∴BE=4，
Rt△DEB中，∠DEB=90°，
∴由勾股定理得DE²+BE²=BD²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得x=3．
答：CD的长度为3．

点评：本题考查了勾股定理的应用，通过本题使同学们明白勾股定理不但可以在直角三角形中求线段的长，而且可以根据其列出等量关系．