Question

如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）.

（1）求点C的坐标.

（2）当0<t<5时，求S与t之间的函数关系式.

（3）求（2）中S的最大值.

（4）当t>0时，直接写出点（4，）在正方形PQMN内部时t的取值范围.

【参考公式：二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标为（）.】

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由题意，得解得

∴C（3,）.                                      

（2）根据题意，得AE=t，OE=8-t.

∴点Q的纵坐标为(8-t)，点P的纵坐标为t，

∴PQ= (8-t)-t=10-2t.

当MN在AD上时，10-2t=t，∴t=.               

当0<t≤时，S=t(10-2t)，即S=-2t²+10t.

当≤t<5时，S=(10-2t)²，即S=4t²-40t+100.          

（3）当0<t≤时，S=-2（t-）²+，∴t=时，S最大值=.

当≤t<5时，S=4(t-5)²，∵t<5时，S随t的增大而减小，

∴t=时，S最大值=.

∵>，∴S的最大值为.               

（4）4<t<或t>6.                                 

【解析】（1）由于点C是直线与直线的交点，把两直线组成方程组即可

（2）需要分情况讨论：①当0<t≤时，正方形PQMN与△ACD重叠部分是矩形，用t的代数式表示出矩形的长和宽即可，②当≤t<5时，正方形PQMN与△ACD重叠部分是正方形，用t的代数式表示出正方形的边长即可

（3）由（2）中的s与t的关系式中，根据二次函数的最值易解决

（4）考虑边界即可