Question

如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连结EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：
①∠EDF=90°；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③AD²+AF²=DG•DB；④若MC=

2

，则BF=2；
正确的结论有（　　）

• A、①②
• B、①②③
• C、③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：根据正方形的性质可得AD=CD，然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=90°，判断出①正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，然后判断出△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠DEF=45°，再根据两组角对应相等的三角形相似得到△BFG∽△EDG∽△BDE，判断出②正确；根据勾股定理可得AD²+AF²=DF²，再利用相似三角形对应边成比例列式整理可得DG•DB=DE²，然后求出AD²+AF²=DG•DB，判断出③正确；连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=

1

2

EF，然后判断出直线CM垂直平分BD，过点M作MH⊥BC于H，得到∠MCH=45°，然后求出MH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BF=2MH，判断出④正确．

解答：解：正方形ABCD中，AD=CD，
在△ADF和△CDE中，

AD=CD ∠A=∠DCE=90° AF=EC

，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠ADF=∠CDE，
∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，故①正确；
DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（对顶角相等），
∴△BFG∽△EDG，
∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，
∴△EDG∽△BDE，
∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；
在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD²+AF²=DF²，
由△EDG∽△BDE得，

DG

DE

=

DE

BD

，
∴DG•DB=DE²，
∵DE=DF，
∴AD²+AF²=DG•DB，故③正确；
连接BM、DM，
∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形，
∴BM=DM=

1

2

EF，
又∵BC=CD，
∴直线CM是BD的垂直平分线，
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH=45°，
∵MC=

2

，
∴MH=

2

2

×

2

=1，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴BF=2MH=2，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选D．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键．