Question

16．如图，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，且AC=5，BD=11，CD=12．
（1）在直线l上找一点M，使MA=MB，求点M到点D的距离．
（2）在直线l上找一点N，使NA+NB最小，求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质做出线段AB的垂直平分线进而得出与直线l的交点M，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，作A的对称点E，连接BE交CD于N，则此时NA+NB最小，即BE=AN+BN，过E作EF⊥BD交BD的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接AB，作AB的垂直平分线交CD于M，则点M即为所示，
∵AC=5，BD=11，CD=12，
∴CM=12-DM，
∵AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，
∴AC²+CM²=DM²+BD²，
即5²+（12-DM）²=DM²+11²，
∴DM=$\frac{37}{6}$；

（2）如图2，作A的对称点E，连接BE交CD于N，则此时NA+NB最小，即BE=AN+BN，
过E作EF⊥BD交BD的延长线于F，
∴BF=11+5=16，EF=CD=12，
∴BE=$\sqrt{E{F}^{2}+B{F}^{2}}$=20，
∴这个最小值是20．

点评 此题主要考查了线段垂直平分线的作法，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．