Question

【题目】如图1，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为(﹣4，0)

（1）b=　　，点B的坐标是　　；

（2）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由

（3）如图2，点D是抛物线上第二象限内的一动点，过点D作DM⊥AC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）﹣，(，0)；（2）∠CBA=2∠CAB，见解析；（3）存在，-1与

【解析】

（1）把点A的坐标，代入函数解析式可求出b的值，代入y=0求出x值，进而可得出点B的坐标；

（2）作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，设OE=n，则CE=2-n，EF=n，利用面积法可求出n值，进而可得出==，结合∠AOC=90°=∠BOE可证出△AOC∽△BOE，根据相似三角形的性质可得出∠CAO=∠EBO，再根据角平分线的性质可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB，此题得解；

（3）过点D作DR⊥y垂足为R，DR交AC与点G，在AB上找点E使，分当=2时和当=2时两种情况讨论．

（1）把A（﹣4，0）代入得，

∴﹣﹣4b+2=0，

∴b=﹣．

当y=0时，有，

解得：x1=﹣4，x2=，

∴点B的坐标为（，0）．

故答案为：﹣；（，0）．

（2）∠CBA=2∠CAB，理由如下：

作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图所示．

∵点B（，0），点C（0，2），

∴OB=，OC=2，BC=．

设OE=n，则CE=2﹣n，EF=n，

由面积法，可知：OBCE=BCEF，即（2﹣n）=n，

解得：n=．

∵==，∠AOC=90°=∠BOE，

∴△AOC∽△BOE，

∴∠CAO=∠EBO，

∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB

（3）如图所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交AC与点G，在AB上找点E使， 则DG∥AB，∠G=∠BAC，∠CEO=2∠BAC，

∵A（-4，0），B（，0），C（0，2），

在直角三角形EOC中，

即：

解得：OE=

∴=，=，

设D，

当=2时，

∵∠MCD=∠CDG+∠G

∴=，

∴

则

解得：=0（不符合题意，舍去），=-1，

∴点D的横坐标是-1

当=2时，则∠CDM=∠CEO

∴

设CM=4k，DM=3k，则CD=5k，

=，则MG=6k，DG=，CG=2k，

∵AC=

∴

∴CR=，， ，

∴,

解得：=0（不符合题意，舍去），=，

点D的横坐标是

综上所述，点D的横坐标是-1或