题目内容

在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=x，CE=y．
（1）如图，当点P在边BC上时（点P与点B、C都不重合），求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当x=3时，求CF的长；
（3）当tan∠PAE= $数学公式$ 时，求BP的长．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵BP=x，CE=y，
∴PC=5-x，DE=4-y，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△ABP∽△PCE，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ ，
自变量的取值范围为：0＜x＜5；

（2）当x=3时，y= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ，即CE= $\text{[math]}$ ，
∴DE= $\text{[math]}$ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴CF=3；

（3）根据tan∠PAE= $\text{[math]}$ ，可得： $\text{[math]}$ =2
易得：△ABP∽△PCE
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2
于是： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 ①或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 ②
解得：x=3，y=1.5或 x=7，y=3.5．
∴BP=3或7．
分析：（1）PC在BC上运动时，要求y关于x的函数解析式，只需要用勾股定理表示PE2=PC2+EC2就可以使问题到解决，而关键是解决PE2，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题．
（2）把x=3的值代入第一问的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可以求出CF的值．
（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，再分情况讨论，从而求出BP的值．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形以及勾股定理的运用．