Question

【题目】已知直线y＝2x+b与反比例函数y＝的（k＞0）图象交于点A，过点A作AB⊥x轴于点B，点D为线段AC的中点，BD交y轴于点E，

（1）若k＝8，且点A的横坐标为1，求b的值；

（2）已知△BEC的面积为4，则k的值为多少？

（3）若将直线旋转，k＝8，点E为△ABC的重心且OE＝2，求直线AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）b＝6；（2）k＝8；（3）直线AC的解析式为y＝2x+4．

【解析】

（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题．

（2）设A（m，），则B（m，0），构建一次函数求出点E，点C的坐标（用m，k表示），再利用三角形的面积，构建方程求出k即可．

（3）连接AE，延长AE交BC于J．求出点J的坐标，再根据中点坐标公式构建方程求出k即可解决问题．

解：（1）由题意，A（1，8），

把A（1，8）代入y＝2x+b得到b＝6．

（2）设A（m，），则B（m，0），

把A（m，）代入y＝2x+b得到b＝﹣2m，

∴直线AC的解析式为y＝2x+﹣2m，

令y＝0，得到x＝m﹣，

∴C（m﹣，0），

∵AD＝DC，

∴D（m﹣，），

设直线BD的解析式为y＝k′x+b′，

则有，

解得，

∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+2m，

∴E（0，2m），

∴OE＝2m，BC＝OC+OB＝

∵S△ECB＝4，

∴BCEO＝4，

∴××2m＝4，

∴k＝8．

（3）连接AE，延长AE交BC于J．

由（2）可知，E（0，2m），

∵OE＝2，

∴2m＝2，

∴m＝1，

∴C（（1﹣，0），B（1，0），A（1，k），

∴直线AE的解析式为：y＝（k﹣2）x+2，

令y＝0，得到x＝，

∴J（，0），

∵E是△ABC的重心，

∴CJ＝JB，

∴＝（1+1﹣），

解得k＝6或0（舍弃），

∴直线AC的解析式为y＝2x+4．