Question

【题目】如图，四边形为矩形，四边形为菱形．

求证：；

试探究：当矩形边长满足什么关系时，菱形为正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）根据矩形的性质可得∠B=∠C=90°，AB=DC，根据菱形的四条边都相等可得AE=DE，然后利用“HL”证明Rt△ABERt△DCE即可；（2）BC=2AB时，菱形AEDF为正方形．根据全等三角形对应边相等可得BE=CE，然后求出AB=BE，从而求出∠BAE=∠AEB=45°，同理可得∠DEC=45°，然后求出∠AED=90°，最后根据有一个角是90°的菱形是正方形即可证得结论．

证明：∵四边形为矩形，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，
在和中，
，
∴；

当时，菱形为正方形．
理由：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∵，
∴，
∴菱形是正方形．