Question

如图：点D在线段AB的延长线上，把AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，连接CD，点E在CD上，BF∥CD交直线AE于点F，∠AEC=60°，AF=2

3

，CE=5，则AE的长为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：过点C作CN⊥DC交EA的延长线于点N，过点A作AM⊥EN于点A，交CN于点M，就可以得出∠ACM=∠ABF，∠CAM=∠BAE，就可以得出△ACM≌△ABF，就有∠AMC=∠AFB=120°，有∠AMN=60°，就可以得出美女HEAN的值，在Rt△NCE中由勾股定理就可以求出EN的值，从而求出AE的值．

解答：解：过点C作CN⊥DC交EA的延长线于点N，过点A作AM⊥EN于点A，交CN于点M，
∴∠DCN=∠MAN=∠EAM=90°．
∴∠CAM+∠CAE=90°，∠ACN+∠ACE=90°
∵AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAE+∠EAC=90°，∠D+∠ACE=90°，
∴∠ACN=∠D．
∵∠AEC=60°，
∴∠AED=120°．
∵BF∥CD，
∴∠ABF=∠D，∠AFB=∠AED．
∴∠ACN=∠ABF．∠AFB=120°．
在△ACM和△ABF中

∠ACN=∠ABF AC=AB ∠CAM=∠DAE

，
∴△ACM≌△ABF（ASA），
∴∠AMC=∠AFB，AM=AF．
∴∠AMC=120°，
∴∠AMN=60°，
∴∠N=30°，
∴EN=2EC，MN=2AM
∵AF=2

3

，CE=5
∴AM=2

3

，MN=4

3

，EN=10，
在Rt△AMN中，由勾股定理，得
AN=6．
∵AE=EN-AN，
∴AE=10-6=4．
故答案为4．

点评：本题考查了旋转的性质的运用，勾股定理的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明作辅助线证明三角形全等是关键．