Question

【题目】如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（ ）

①点P在∠A的平分线上；

②AS=AR；

③QP∥AR；

④△BRP≌△QSP．

A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅②③正确 D．仅①和③正确

Answer 1

【答案】A

【解析】

试题分析：因为△ABC为等边三角形，根据已知条件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP，则AR=AS，故（2）正确，∠BAP=∠CAP，所以AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP也是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，因为AQ=PQ，所以点Q是AC的中点，所以PQ是边AB对的中位线，有PQ∥AB，故（3）正确，又可推出△BRP≌△QSP，故（4）正确．

解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S

∴∠ARP=∠ASP=90°

∵PR=PS，AP=AP

∴Rt△ARP≌Rt△ASP

∴AR=AS，故（2）正确，∠BAP=∠CAP

∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确

∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点

∵AQ=PQ

∴点Q是AC的中点

∴PQ是边AB对的中位线

∴PQ∥AB，故（3）正确

∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP

∴△BRP≌△QSP，故（4）正确

∴全部正确．

故选A．