Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO．
（1）求证：△ABD≌△OBC；
（2）若AB=2，BC= ，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠90°，

∵BC是⊙O的切线，

∴∠OBC=∠90°，

∵AD∥CO，

∴∠A=∠COB，

在△ABD和△OBC中

∵∠ADB=∠OBC，∠A=∠COB，

∴△ABD∽△OCB；

（2）解：由（1）知，△ABD∽△OCB，

∴ = ，即AD= ，

∵AB=2，BC= ，

∴OB=1，

∴OC= = ，

∴AD= = ．

【解析】（1）根据AB为圆O的直径，根据圆周角定理得到∠D为90°，又BC为圆O的切线，根据切线性质得到∠CBO=90°，进而得到这两个角相等，又AD∥CO，根据两直线平行，得到一对同位角相等，从而利用两角对应相等的两三角形相似即可得证；（2）根据勾股定理求得OC= ，由（1）得到的相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例得出 = ，即AD= ，求出AD的长．
【考点精析】通过灵活运用切线的性质定理，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径即可以解答此题．